『宮城県内にどのくらいクマがいるのか』データはあるのでしょうか？

もちろん、あります。

広大な山林をどうやって調べているのでしょうか？

双眼鏡を片手に山林を歩いてカウンターをカチカチ・・・って野鳥の生息調査のように調べているわけではありません。

宮城県では毎年6月から秋にかけて山間部の獣道などにエサを置いてクマを誘い出して、自動カメラで撮影する「カメラトラップ法」と呼ばれる方法で生息調査をしています。
2025年は、加美町にカメラ50台を設置し調べました。
イラスト化するとこんな感じです。

カメラの少し先にクマが立ち上がっていますね。
そこがポイントなんですが、実際に撮影された写真がこちらです。